拉格朗日点(拉格朗日点是什么)

“三体问题”是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体,在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题,所以这样就存在着无数种的运动轨迹,三体问体也被称为永远无解的难题。

就像刘慈欣小说《三体》中的三体人所处的环境一样。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图

三体星拥有三个太阳。由于三个太阳之间的万有引力定律,形成了一个“三体”模型,但三个太阳处于无规律运转状态,而这就带来了气候的不稳定性,物种的混乱,且完全无法预测未来的天气走向,造成行星上智慧生命不断地重生和毁灭,最后只剩下三体文明存活下来。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图1

通过这个例子你明白了为什么说“三体问题”永远无解了吧!因为我们无法获悉整个三体模型的规律。

在现实状态,任何一种天体模型都会受到多种因素影响,比如说月球绕着地球的运动,现实生活中应该把地球看成一个椭球体,那么月球的引力就不固定了,再考虑到潮汐作用就更加复杂了。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图2

这样就让科学家头疼不已,这么多变量怎么求啊?

所以为了解三体问题,那就考虑再简化些吧。把三个天体看作三个质点,认为其中一个质点的质量非常小,它对其它两个质点的万有引力可以忽略。这样一来,三体问题就简化成了“限制性三体问题”。

事实上,这样的简化等于是先解一个二体问题,然后加入一个质量很小的质点,再求解这个质点在二体体系中的运动方程。然而,即使这样也还是太复杂了。需要再作简化,就是所谓“平面限制性三体问题”,就是要求三个质点都在同一个平面上。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图3

所以我们所说的限制性三体问题仅仅是对物理实际简化的结果,现实生活中是无法用简单的质点来模拟运动的,其额外因素非常多。

太阳系中太阳、地球和月球的运动,科学家就通常将其看作限制性三体问题,这是因为因为太阳的轨道恒定,地球的轨道恒定,地日的关系恒定,将它略去太阳轨道偏心率、太阳视差和月球轨道倾角,将它看成一种特殊的数学模型。从而得到一个周期!

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也正因为太阳系中太阳、地球和月球的运动轨迹可循,因此地球才能维持相对恒定的生存环境,这就是我们和三体星的区别。

但是,即使是对这样极度简化的模型,也还是没有解析通解,也就是得到一个普遍适用的公式是不可能的。

为什么会这样呢?因为如果要真正解决三体问题,是要建立一种数学模型,使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时,能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。因为每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程,或6个一阶的常微分方程,而我们只能找到十六个积分,无法求解这个十八阶的微分方程租。

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如果我们用现如今最快的计算机模拟三体运动他们的模型是这样的,完全处于混沌状态。

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而不同的天体组成“三体问题”,它们的运动轨迹只能一个个去计算,那么它的数值解肯定是会不一样的,而求解过程中的计算会存在误差,但这些微小误差由于互相累积会被极度放大,其结果也是发散的,即可能与实际情况偏差极大。(数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值, 解析解就是表达式中可以算出任何对应值)

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正因为我们根本没有办法把所有“三体问题”归纳整理为一个公式,从而得出解析解,所以科学家才会把“三体问题”看作是永远无解的难题。

限制性三体问题的特殊条件解(特解):拉格朗日点

正是因为三体问题永远无解,所以科学家一般都是研究限制性三体问题的特解。正如我们刚才所说:

限制性三体问题是指在三个天体中,有一个天体的质量为无限小,以至于它的存在不影响另外两个有限质量天体在相互作用下的运动。

后来科学家就把限制性三体问题按有限质量天体的运动轨迹,可以分为圆型限制性三体问题,椭圆型限制性三体问题,抛物线型限制性三体问题。

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而其中我们最为熟悉的限制性三体问题的特殊条件解,那就是拉格朗日点

这是1772年,法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日,他发表了一篇关于“三体问题”的论文,为了求得三体问题的通解,他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果,即:如果某一时刻,三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点,那么给定初速度,它们将始终保持等边三角形队形运动。这个问题其实是有五个解的,分别是L1、L2、L3、L4、L5。

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其实早起1767年,数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点(特解)L1、L2、L3,1772年的时候拉格朗日算出另外两个点(特解)L4、L5。

拉格朗日点的首次证明是在1906年,天文学家沃尔夫发现了一颗行为怪异的小行星,它的绕日轨道与木星完全相同,在木星前方运行。看上去,小行星-木星-太阳,三者总是呈等边三角形,这颗小行星被命名为“阿基里斯”。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图10

科学家很快意识到,这或许就是拉格朗日点存在的证据;很快,天文学家又在相反的的位置上,也发现了小行星,后来还发现了大量的小行星,存在于这两个点上,后来科学家将拉格朗日点运用到了地球上。

如图示,欧拉发现的点均在上图的X-轴上。M和M1,M2比质量过小而不影响M1和M2的运动轨迹。M1,M2可为地球和月亮(地月系统),也可为地球和太阳(日地系统),简单来说就是地日系统和地月系统都可以看作是限制性三体问题,因而涉及地球的拉格朗日点其实有两组。

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两组拉格朗日点分别具有什么作用

地日系统的拉格朗日点和地月系统的拉格朗日点,带来的不仅是易于进行观测的稳定轨道,不同拉格朗日点特殊的位置还为探测器提供了独一无二的太空环境。

我们从上文也知道,地日系统和地月系统分别有5个拉格朗日点,但只有两个点是稳定的,也就是L4、L5,剩余的点却也有非常主要的利用价值。而航天器也会根据其执行任务的不一样,而选择不同的点。

首先是地日系统的拉格朗日点,这五个点的位置分布如下:

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图12

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图13

地日L1点介于地球和太阳之间,远离地球可避免地球磁场对太阳风的干扰,因而地日L1点非常适合研究太阳风并为地球提供太阳风预警。美国航空航天局(NASA)于1978年发射了ISEE-3,服役期间,这颗卫星主要负责研究日地环境及吹向地球的持续太阳风,它不但是第一颗在日地之间第一拉格朗日点(L1)做以上研究的卫星,也是第一个与彗星相会并采集到数据的探测器。

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LISA进入地日L1点的轨道及环绕L1点的轨道示意图

而地日L2点,其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150万公里处,由于位于地球背对太阳一侧且相对静止,地球会一直阻挡地日L2点的阳光,在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留,是探测器、天体望远镜定位和观测太阳系的理想位置,在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值,是国际深空探测的热点。

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地日L4和L5点虽然是最好的天然稳定平衡点,但因距离地球较远,以现阶段科技难以有效利用。除去2010TK7小行星及可能的其他小行星或星云外,并无任何人造物体在L4和L5点。

而地日系统中没有利用价值的只有L3点,这距离地球最远的拉格朗日点,恰好位于地球公转轨道另一端的L3点被太阳完全阻挡,因而无法观测和通讯。外加上天然的不稳定平衡,所以并不存在利用价值。

而地月系统的拉格朗日点虽然L1- L3是不稳定的,但可选取适当的初始扰动,使相应平动点附近的运动仍为周期运动或拟周期运动。即选取这样的初始扰动使系统原来的解退化为周期解,相应的运动变为稳定的,此时这种稳定称为条件稳定。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图16

像L1位于地球和月球连线上,距离月球6.5万公里,可以理解为月球引力和地球引力相互抵消的点,该处的飞行器无法在水平位置保持自平衡,稍受扰动就会偏向其中一方,不过即使是不稳定平衡,借助控制系统也能使飞船的平衡转为稳定,所以处在该点的物体可以选择在地球和月球引力的共同作用下,可以几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动。据此,科学家设想在L1点建立空间站。

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在高达0079的宇宙纪元里,所有的太空殖民空间站均位于地月L点宇域

而L2位于月球背面一侧,距离月球6.5万公里,该处附近的飞行器无法保持自平衡,飞行器需要围绕L2点绕行,从而达到动态平衡;所以中国鹊桥号的终点站就是环绕地月拉格朗日2点的使命轨道。

这样,地月引力将达到平衡,鹊桥号相对地球和月球达到静止状态,轨道维持需要的燃料少,获取的日照充足,可以说选择L2点是中国能够发射成功全球首颗月球中继信号卫星的创新之举。

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L3:位于地球背向月球一侧,比月球轨道(38万公里)稍微小一点,该处的飞行器无法保持自平衡。利用价值比较小。

L4、L5:对称的两个点,每个点与地球、月球都构成等边三角形,这两个拉格朗日点属于自平衡点,该处的飞行器就算受到一定的扰动,也能主动回到平衡点,有科学家提出了在在地月系统拉格朗日点L(4,5)建立空间VLBI的设想。

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高达00系列中公元2312年建立的位于L4的殖民卫星“辉煌”

由此,拉格朗日点在深空探测中发挥了重要的作用,成为航天器的“停车场”,在地球上看起来,探测器永远相对于地球静止。

拉格朗日点(拉格朗日点是什么)插图20

地月系统和日地系统的所有拉格朗日点